测定幼声学格波的部门频谱

作者:dongke  发布日期: 2019-11-07  浏览次数:

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  §3.2 三维晶格的振动 本节会商三维晶格振动,获得晶格振动的根基特征和一些遍及的结论。,一、活动方程及其解 设晶体原胞的基矢为a1、a2、a3;,沿基矢标的目的晶体各有N1、N2、N3个原胞,即晶体一共有N=N1N2N3个原胞;,每个原胞内有n个原子,质量为,个原胞第p个原子的均衡点矢量为,第,原胞内第p个原子的矢量。,每个原胞中,n个分歧原子均衡的相对坐标为,该原子相对于均衡点的位移为,它沿坐标轴的分量为,,上式是3nN个相耦合的活动方程组。,是原子(l,p)取原子(l’,p’)之间的准弹性力系数,,把一维晶格动力学方程的试解加以推广,设三维晶格行波试解为:,,将试解代入活动方程,可获得3n个线性齐次联立方程(因为晶格的平移对称性,使得3nN个联立方方程组削减到3n个):,使,有非零解的前提是系数行列式等于零:,由此可获得3n个色散关系,每个色散关系代表一支格波,共有3n支格波。,格波的色散关系中,有3支当,别的,3n-3支是描述原胞内各个原子之间的相对活动,称为光学支。,这三支称为声频波, 它们是描述原胞取原胞之间的相对活动,其色散关系正在长波近似下取弹性波雷同,称为声学支;,,波矢空间以,二、周期性鸿沟前提确定模式数目,波矢q为,为倒基矢,则,按照波恩-卡门鸿沟前提,,或写成,由(6)式,得,即,也就是说,使用到关系,为整数。代回(4)式,代表q空间平均分布的点子.,若,是倒格矢,则,不变。,因而q的取值可正在第一布里渊区之内。,个q值。,倒空间原胞体积:,原胞体积,第一布里渊区里共有,波矢q的点正在布里渊区中的密度为,若是q改变一个倒格子矢量,从三维晶格行波试解:,能够看出,q的感化只正在于确定分歧原胞之间振动位相的联系,具体表示正在位相因子:,因为,不影响位相因子,因此对格波的描述没有任何区别。,晶格的一种振动模式,由此可知三维晶体中振动模式数目为3nN个。,对于有N个原胞的三维晶体,每个原胞有n个原子,每个原子有3个度,所以晶体的总度数也是3nN。,,波矢q添加一个倒格矢,原子的位移连结不变。--第一布里渊区。,晶格振动的波矢数目等于晶体的原胞数N; 格波振动模式数目等于晶体中所有原子的度数之和3nN 。,归纳综合起来,我们获得以下结论:,,§3.3 简正振动 声子 理论考虑:前面我们按照牛顿用间接解活动方程的方式,求解一维链的振动模,得出如下结论: 晶体华夏子的集体振动-----格波,可展开成简谐平面波的线性迭加。 对微弱振动(简谐近似),每个格波就是一个简谐波,格波之间的彼此感化可忽略,构成格波模式。 正在玻恩-卡门周期性鸿沟前提下,获得分立的格波模式,可用简谐振子来表述。 下面我们按照阐发力学道理,引入简正坐标,间接过渡到量子理论,并引入声子概念--晶格振动中的简谐振子的能量量子。,一、简谐近似和简正坐标,数学处置:通过引入简正坐标,将晶格振动总能量(哈密顿量)=动能 + 势能(化成)=简谐振子能量之和,从典范力学的概念,晶格振动是一个典型的小振动问题,凡是力学系统自均衡发生细小偏移时,该力学系统的活动都是小振动。 上一节关于晶格的活动方程之所以可以或许化成线性齐次方程组,是简谐近似的成果,即忽略原子彼此感化的非线性项获得的。 处置小振动问题的理论方式和次要成果--做为晶格振动这部门内容的理论根本。,正在第二章我们曾经会商过,当原子处于均衡时,原子间的彼此感化势能,取最小值。,彼此感化势能是原子偏离均衡位移的函数。N个原子的位移矢量共有3N个分量,写成,原子彼此感化势能是这些位移分量的函数,即,将,正在均衡展开成泰勒级数,因正在均衡势能取极小值,所以上式左端第二项为零,若取U0为能量零点,并略去二次以上的高次项,获得,上式即为简谐近似下,势能的暗示式,包含了位移交叉项。,,处置小振动问题一般都取简谐近似。,对于一个具体的物理问题能否能够采用简谐近似,要看正在简谐近似前提下获得的理论成果能否取尝试相分歧。正在有些物理问题中就需要考虑高阶项的感化,称为非谐感化。,为了消去势能中的交叉项,使问题简化,引入简正坐标,N个原子系统的动能函数为,简正坐标取原子的位移坐标之间的正交变换关系:,正在简正坐标中,势能和动能化成,,由上式可得出正则动量,振动系统的拉格朗日函数为:,于是系统的哈密顿函数化成,将上式代入正则方程,,获得,这是3N个彼此无关的谐振子的活动方程,表白各简正坐标描述的简正振动。,借帮简正坐标,将N个彼此耦合联系关系的原子构成的晶格的振动为3N个的谐振子的简谐振动。,此中,肆意简正坐标的解为,:振动的圆频次,原子的位移坐标和简正坐标间存正在着正交变换关系:,上式表白,每一个原子都以不异的频次做振动。,当只考虑某一个Qj的振动时,位移坐标可暗示为,一个简正振动取位移坐标分歧,不再只和个体原子相联系,而是暗示整个晶体所有原子都参取的振动,并且它们振动频次不异。,二、一维简单晶格,申明二个问题:,(1)简正坐标的引入 前面按照牛顿获得的原子活动方程的试解为,晶格振动等价于N个谐振子的振动,谐振子的振动频次就是晶格的振动频次; 按照牛顿用间接解活动方程的方式,求链的振动模,取按照阐发力学道理,引入简正坐标是等效的。,暗示第q个格波惹起第n个原子的位移, 而第n个原子的总位移应为所有格波惹起的位移的叠加,正在简谐近似和比来临近似下,一维单原子晶格的振动总能量为,势能项,,势能项,中呈现了交叉项,为了消去势能中的交叉项,把原子总位移的表达式变换一下形式,写成:,则,,取简正坐标和原子位移坐标的定义关系式,此中Q(q)就是简正坐标,它暗示了格波的振幅,而线性变换系数为,Q(q)能否就是简正坐标,需要证明颠末的变换后,动能和势能都具有平方和的形式。,比力,得,,为了证明这一点,需要操纵以下两个关系式:,第二个关系式,现实就是线性变换系数的正交前提,第一个关系式能够从原子位移为实数的前提获得,由于,也能够写成,由于原子位移un为实数,所以,比力两式,可得,把上式两头取共轭,,,第二个关系式,线性变换系数的正交前提,当q≠q’时,,当q=q’时,,明显成立。,s为整数,故有,,操纵上述证明的两个关系式,我们可化简系统动能和位能的表达式。,操纵等比级数前n项乞降公式,,晶格动能:,,有,同理可求出晶格势能:,此中,是一维简单格子的色散关系。,,如许能够写出晶格振动总能量如下:,至此,晶格的动能和势能都化成了平方和的形式,这申明Q(q)确实是系统的简正坐标。,引入简正坐标当前: 晶格振动的总能量能够暗示为N个简谐振子的能量之和。 这里所引入的线性变换可取量子力学中的变换类比考虑:,现实坐标空间的N个彼此感化的原子系统的微振动和,简正坐标所形成的态空间中N个谐振子,等效,,,三、声子 按照量子力学对谐振子的处置,频次为ωq的谐振子的能量本征值是,所以晶格的总能量,上述结论可间接推广到三维环境,三维晶格的振动总能量为,引入声子的概念: 因为格波的能量是以 为单元量子化的,凡是把这个能量量子称为声子。,声子是玻色子: 声子既具有能量又具有动量,即具有粒子的属性,所以我们能够把声子当作是一种“准粒子”。因为同种声子(ω和q都不异的声子)之间不成区分并且自旋为零,声子是玻色子。,平均声子数: 因为对每个声子能级 ,声子的占领数没有,声子服从玻色统计,对 能级的平均占领数由普朗克公式给出:,,声子的准动量 声子不只是一个能量子,它还具有“动量”。,波矢q的标的目的代表格波的标的目的,引入声子概念后它就是声子的波矢,其标的目的代表声子的活动标的目的,雷同光子,称 为声子的准动量。,,引入声子概念后,给处置相关晶格振动问题带来极大便利: (1)简谐近似下晶格振动的热力学问题就可看做由3nN种分歧声子构成的抱负气系统统处置,若是考虑非谐效应,可当作有彼此感化的声子气体。 (2)光子、电子、中子等取晶格振动彼此感化,就可当作是光子、电子、中子等取声子的碰撞感化,如许就使得问题的处置大大简化。 (3)元激发:声子反映的是晶格原子集体活动形态的激发单位,固体中微不雅粒子正在特定彼此感化下发生的集体活动形态的的激发单位常称为元激发。彼此感化性质分歧,对应分歧的元激发,但处置这些元激发的理论方式是相雷同的。,§3.4 晶格振动谱的尝试测定方式,除了少数几个极简单模子,其晶格振动谱能够从理论上导出外,绝大部门现实晶体的晶格振动谱需要尝试测定。,一、定义: 晶格振动谱就是格波的色散关系ω(q),也称声子谱。,尝试测定ω(q):粒子取晶格振动的非弹性散射,中子、光子等取声子的碰撞。,傍边子、光子入射到晶体,能够和晶格振动互换能量,老是以,为单位互换能量。使谐振子从一个激发态跃迁到另一个激发态。用声子概念说,就是发生或者覆灭了一个声子,发射或接收一个声子。,晶格振动谱的尝试测定方式,次要有两类: 光子散射方式,中子散射方式。,二、光子散射,设入射光子的频次为Ω,波矢为k,取频次为ω、波矢为q的声子碰撞后,光子的频次和波矢别离变成,碰撞过程中,能量守恒和准动量守恒。,两种过程: 接收声子过程:,以上四式可化成以下两式,发生(又称发射)声子过程:,当入射光的频次Ω及波矢k必然,正在分歧标的目的(k’的标的目的)测出散射光的频次Ω’,由Ω取Ω’的差值求出声子频次ω, 由k取k’的标的目的及大小求出声子波矢q的大小及标的目的,即可求出晶格振动频谱。,尝试方式:,测定长声学格波的部门频谱,尝试还可进一步简化: 光被长声学波的散射称为布里渊散射。因为长声学波的能量很是小, q→ 0(不会超出第一布里渊区),因而,散射光的频次和波矢的改变很是小,能够近似认为,即左图中三角形近似为等腰三角形,声子波矢的模可由下式求得,波矢q的标的目的由光子入射标的目的取散射标的目的决定,即由,标的目的决定。由此即可确定出标的目的上长声学波的频谱,此中 是晶体中的声速。,喇曼散射: 光子和长光学波声子彼此感化,称这类光子的散射为光子的喇曼散射。 因为长光学波声子能量较大,其频次根基取波矢无关,(可由光学波的色散关系曲线很是平缓看出),所以喇曼频移相当大。,三、中子散射方式 中子取声子彼此感化满脚能量守恒及动量守恒定律。,设中子的质量:m, 入射中子的动量:P, 散射后中子的动量:,由散射过程中能量守恒,得,由动量守恒,得,+号对应接收一个声子的过程,,的两声子是等价的前提。,动量守恒中操纵了波矢q取波矢,倒逆散射过程或U过程。,一般散射过程。,-号对应发射一个声子的过程。,由(10)式求出波矢的模,由(9)式求出频次,www.yabo.vip即可确定出某标的目的上的振动谱,对于一般散射过程,由(7)和(8)两式别离得,

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